港明國中一年級上學期 數學(一) 第9回 指數律 詳解講義
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一、選擇題 (每題 4 分，共 40 分)
1. 已知 \(9^2 \times (-9)^5 \div 9^3 = -3^\square\)，則 \(\square = ?\)
解答 (D)
解析：
解析：
- 處理符號：\((-9)^5\) 是奇數次方，結果為負，可寫成 \(-9^5\)。
- 原式變為：\(9^2 \times (-9^5) \div 9^3 = -(9^2 \times 9^5 \div 9^3)\)。
- 利用指數律：\(-(9^{2+5-3}) = -9^4\)。
- 換底數為 3：\(-9^4 = -(3^2)^4 = -3^{2 \times 4} = -3^8\)。
- 對照題目 \(-3^\square\)，可知 \(\square = 8\)。
2. 下列哪一個式子是錯誤的？
解答 (B)
解析：
(B) 選項是「次方再次方」，指數應相乘而非相加。
正確應為：\( [(-3\frac{4}{5})^4]^3 = (-3\frac{4}{5})^{4 \times 3} = (-3\frac{4}{5})^{12} \)。
解析：
(B) 選項是「次方再次方」，指數應相乘而非相加。
正確應為：\( [(-3\frac{4}{5})^4]^3 = (-3\frac{4}{5})^{4 \times 3} = (-3\frac{4}{5})^{12} \)。
3. 若 8 個 \((\frac{1}{4})^6\) 連加的結果為 \(\frac{1}{2^x}\)，則 \(x = ?\)
解答 (C)
解析：
「8 個某數連加」等於 「8 乘上某數」。
式子：\(8 \times (\frac{1}{4})^6 = 2^3 \times (\frac{1}{2^2})^6\)
\(= 2^3 \times \frac{1}{2^{12}} = \frac{2^3}{2^{12}} = \frac{1}{2^{12-3}} = \frac{1}{2^9}\)
對照 \(\frac{1}{2^x}\)，可知 \(x=9\)。
解析：
「8 個某數連加」等於 「8 乘上某數」。
式子：\(8 \times (\frac{1}{4})^6 = 2^3 \times (\frac{1}{2^2})^6\)
\(= 2^3 \times \frac{1}{2^{12}} = \frac{2^3}{2^{12}} = \frac{1}{2^{12-3}} = \frac{1}{2^9}\)
對照 \(\frac{1}{2^x}\)，可知 \(x=9\)。
4. 已知 \(10^8\) 是 \((-25)^4\) 的 \(2^m\) 倍，則 \(m = ?\)
解答 (D)
解析：
題目可寫成：\(10^8 = (-25)^4 \times 2^m\)
左邊：\(10^8 = (2 \times 5)^8 = 2^8 \times 5^8\)
右邊：\((-25)^4 = (5^2)^4 = 5^8\) (負數偶次方為正)
比較兩邊：\(2^8 \times 5^8 = 5^8 \times 2^m\)
消去 \(5^8\)，得 \(2^8 = 2^m\)，故 \(m=8\)。
解析：
題目可寫成：\(10^8 = (-25)^4 \times 2^m\)
左邊：\(10^8 = (2 \times 5)^8 = 2^8 \times 5^8\)
右邊：\((-25)^4 = (5^2)^4 = 5^8\) (負數偶次方為正)
比較兩邊：\(2^8 \times 5^8 = 5^8 \times 2^m\)
消去 \(5^8\)，得 \(2^8 = 2^m\)，故 \(m=8\)。
5. 甲：「\(1^{100}=100^0\)」。乙：「\((-5^2)^3=(-5^3)^2\)」。則下列判斷何者正確？
解答 (A)
解析：
甲：\(1^{100} = 1\)，\(100^0 = 1\)，兩者相等，正確。
乙：
左邊 \((-5^2)^3 = (-25)^3\) 結果為負。
右邊 \((-5^3)^2 = (-125)^2\) 結果為正。
一負一正不相等，錯誤。
解析：
甲：\(1^{100} = 1\)，\(100^0 = 1\)，兩者相等，正確。
乙：
左邊 \((-5^2)^3 = (-25)^3\) 結果為負。
右邊 \((-5^3)^2 = (-125)^2\) 結果為正。
一負一正不相等，錯誤。
6. 已知一正方體的邊長為 2，其表面積與體積的乘積可表示為 \(m \times 2^n\)，且 \(m\) 為質數，\(n\) 為正整數，則 \(m-n\) 之值為何？
解答 (A)
解析：
表面積 \(= 6 \times 2^2 = 24\)
體積 \(= 2^3 = 8\)
乘積 \(= 24 \times 8 = 192\)
質因數分解 \(192 = 64 \times 3 = 3 \times 2^6\)
對照 \(m \times 2^n\)，得 \(m=3, n=6\)。
求 \(m-n = 3 – 6 = -3\)。
解析：
表面積 \(= 6 \times 2^2 = 24\)
體積 \(= 2^3 = 8\)
乘積 \(= 24 \times 8 = 192\)
質因數分解 \(192 = 64 \times 3 = 3 \times 2^6\)
對照 \(m \times 2^n\)，得 \(m=3, n=6\)。
求 \(m-n = 3 – 6 = -3\)。
7. 已知「※」是一個新的運算符號，其運算規則為：\(a ※ b = a^3 \div b + b^2\)，則 \((-1\frac{1}{2}) ※ 3 = ?\)
解答 (D)
解析：
令 \(a = -\frac{3}{2}\)，\(b = 3\)。
代入：\((-\frac{3}{2})^3 \div 3 + 3^2\)
\(= (-\frac{27}{8}) \times \frac{1}{3} + 9\)
\(= -\frac{9}{8} + 9\)
\(= -\frac{9}{8} + \frac{72}{8} = \frac{63}{8}\)。
解析：
令 \(a = -\frac{3}{2}\)，\(b = 3\)。
代入：\((-\frac{3}{2})^3 \div 3 + 3^2\)
\(= (-\frac{27}{8}) \times \frac{1}{3} + 9\)
\(= -\frac{9}{8} + 9\)
\(= -\frac{9}{8} + \frac{72}{8} = \frac{63}{8}\)。
8. 已知 \(2^x=5\)，則下列何者為 \(2^{3x+4}\) 的因數？
解答 (C)
解析：
化簡：\(2^{3x+4} = (2^x)^3 \times 2^4 = 5^3 \times 16 = 125 \times 16 = 2000\)
檢查選項：
(C) \(40 = 8 \times 5\)，是 2000 的因數。
(A)、(D) 都有因數 3，但 2000 沒有因數 3。
(B) 32 是 \(2^5\)，但 2000 只有 \(2^4 \times 125\)，2的次方不夠。
解析：
化簡：\(2^{3x+4} = (2^x)^3 \times 2^4 = 5^3 \times 16 = 125 \times 16 = 2000\)
檢查選項：
(C) \(40 = 8 \times 5\)，是 2000 的因數。
(A)、(D) 都有因數 3，但 2000 沒有因數 3。
(B) 32 是 \(2^5\)，但 2000 只有 \(2^4 \times 125\)，2的次方不夠。
9. 比較 \(a=(-\frac{2}{3})^3, b=(-\frac{3}{4})^3, c=(-\frac{4}{5})^3\) 三者的大小關係為何？
解答 (A)
解析：
三者皆為負數。
底數絕對值：\(\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)。
絕對值越大，立方的結果「負得越多」，值反而越小。
故 \(c < b < a\) (即 \(a > b > c\))。
解析：
三者皆為負數。
底數絕對值：\(\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)。
絕對值越大，立方的結果「負得越多」，值反而越小。
故 \(c < b < a\) (即 \(a > b > c\))。
10. 已知數線上有 \(A(2^9), B(2^8)\) 兩點，若在 \(\overline{AB}\) 上取 7 個等分點，則每一等分的長度為何？
解答 (B)
解析：
線段長 \(= 2^9 – 2^8 = 2 \times 2^8 – 1 \times 2^8 = 2^8\)。
取 7 個等分點，表示分成 8 等分。
每份長度 \(= 2^8 \div 8 = 2^8 \div 2^3 = 2^5\)。
解析：
線段長 \(= 2^9 – 2^8 = 2 \times 2^8 – 1 \times 2^8 = 2^8\)。
取 7 個等分點，表示分成 8 等分。
每份長度 \(= 2^8 \div 8 = 2^8 \div 2^3 = 2^5\)。
二、填充題 (每格 4 分，共 40 分)
1. 在 \(\square\) 中填入適當的數，使得等號成立。
(1) \((\frac{1}{3})^8 \times (\frac{1}{25})^4 = \square^8\)，\(\square =\) ________
(1) \((\frac{1}{3})^8 \times (\frac{1}{25})^4 = \square^8\)，\(\square =\) ________
解答 \(\frac{1}{15}\)
解析：
\((\frac{1}{25})^4 = ((\frac{1}{5})^2)^4 = (\frac{1}{5})^8\)
原式 \(= (\frac{1}{3})^8 \times (\frac{1}{5})^8 = (\frac{1}{15})^8\)
故 \(\square = \frac{1}{15}\)。
解析：
\((\frac{1}{25})^4 = ((\frac{1}{5})^2)^4 = (\frac{1}{5})^8\)
原式 \(= (\frac{1}{3})^8 \times (\frac{1}{5})^8 = (\frac{1}{15})^8\)
故 \(\square = \frac{1}{15}\)。
(2) \(2^4 \times 4^\square \times 8^2 = 16^4\)，\(\square =\) ________
解答 3
解析：
換成底數 2：\(2^4 \times (2^2)^\square \times (2^3)^2 = (2^4)^4\)
\(2^4 \times 2^{2\square} \times 2^6 = 2^{16}\)
指數：\(4 + 2\square + 6 = 16 \Rightarrow 2\square = 6 \Rightarrow \square = 3\)。
解析：
換成底數 2：\(2^4 \times (2^2)^\square \times (2^3)^2 = (2^4)^4\)
\(2^4 \times 2^{2\square} \times 2^6 = 2^{16}\)
指數：\(4 + 2\square + 6 = 16 \Rightarrow 2\square = 6 \Rightarrow \square = 3\)。
2. 計算下列各式的值。
(1) \((-1\frac{1}{4}) \times \frac{2}{5} \div 2\frac{1}{3} – (0.5)^2 =\) ________
(1) \((-1\frac{1}{4}) \times \frac{2}{5} \div 2\frac{1}{3} – (0.5)^2 =\) ________
解答 \(-\frac{13}{28}\)
解析：
前項：\((-\frac{5}{4}) \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = -\frac{3}{14}\)
後項：\((0.5)^2 = \frac{1}{4}\)
計算：\(-\frac{3}{14} – \frac{1}{4} = -\frac{6}{28} – \frac{7}{28} = -\frac{13}{28}\)。
解析：
前項：\((-\frac{5}{4}) \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = -\frac{3}{14}\)
後項：\((0.5)^2 = \frac{1}{4}\)
計算：\(-\frac{3}{14} – \frac{1}{4} = -\frac{6}{28} – \frac{7}{28} = -\frac{13}{28}\)。
(2) \(5^2 \times (-\frac{1}{2})^5 + (-\frac{1}{3})^3 \div (-\frac{2}{9})^2 \times (-\frac{1}{2})^3 =\) ________
解答 \(-\frac{11}{16}\)
解析：
第一項：\(25 \times (-\frac{1}{32}) = -\frac{25}{32}\)
第二項：\((-\frac{1}{27}) \div \frac{4}{81} \times (-\frac{1}{8}) = (-\frac{1}{27}) \times \frac{81}{4} \times (-\frac{1}{8}) = \frac{3}{32}\)
總和：\(-\frac{25}{32} + \frac{3}{32} = -\frac{22}{32} = -\frac{11}{16}\)。
解析：
第一項：\(25 \times (-\frac{1}{32}) = -\frac{25}{32}\)
第二項：\((-\frac{1}{27}) \div \frac{4}{81} \times (-\frac{1}{8}) = (-\frac{1}{27}) \times \frac{81}{4} \times (-\frac{1}{8}) = \frac{3}{32}\)
總和：\(-\frac{25}{32} + \frac{3}{32} = -\frac{22}{32} = -\frac{11}{16}\)。
3. 計算 \(10 \times 100^2 \times 1000^3 \times 10000^4\) 所得的乘積中，末尾共有 ________ 個 0。
解答 30
解析：
換成 10 的次方：\(10^1 \times (10^2)^2 \times (10^3)^3 \times (10^4)^4\)
\(= 10^1 \times 10^4 \times 10^9 \times 10^{16} = 10^{30}\)
故有 30 個 0。
解析：
換成 10 的次方：\(10^1 \times (10^2)^2 \times (10^3)^3 \times (10^4)^4\)
\(= 10^1 \times 10^4 \times 10^9 \times 10^{16} = 10^{30}\)
故有 30 個 0。
4. 若 \(x = -1.8\)，則 \(x^{17}, x^{18}, x^{19}, x^{20}\) 四數的大小關係為 ________
解答 \(x^{20} > x^{18} > x^{17} > x^{19}\)
解析：
偶次方為正，奇次方為負。且 \(|x|>1\)，次方越高絕對值越大。
正數：\(x^{20} > x^{18}\)
負數：\(x^{19}\) 絕對值比 \(x^{17}\) 大，所以 \(x^{19}\) 更小。
順序：\(x^{20} > x^{18} > x^{17} > x^{19}\)。
解析：
偶次方為正，奇次方為負。且 \(|x|>1\)，次方越高絕對值越大。
正數：\(x^{20} > x^{18}\)
負數：\(x^{19}\) 絕對值比 \(x^{17}\) 大，所以 \(x^{19}\) 更小。
順序：\(x^{20} > x^{18} > x^{17} > x^{19}\)。
5. 數位資料單位換算：
(1) \(2TB\) 相當於 \(2^x Bytes\)，則 \(x =\) ________
(2) \(64GB\) 記憶卡可儲存 \(2^y\) 張 \(4MB\) 相片，則 \(y =\) ________
(1) \(2TB\) 相當於 \(2^x Bytes\)，則 \(x =\) ________
(2) \(64GB\) 記憶卡可儲存 \(2^y\) 張 \(4MB\) 相片，則 \(y =\) ________
解答 (1) 41 (2) 14
解析：
(1) \(2TB = 2 \times 2^{10}(GB) \times 2^{10}(MB) \times 2^{10}(KB) \times 2^{10}(Bytes) = 2^{41}\)。
(2) \(64GB = 2^6 \times 2^{10} MB = 2^{16} MB\)。
數量：\(2^{16} \div 4 = 2^{16} \div 2^2 = 2^{14}\)，故 \(y=14\)。
解析：
(1) \(2TB = 2 \times 2^{10}(GB) \times 2^{10}(MB) \times 2^{10}(KB) \times 2^{10}(Bytes) = 2^{41}\)。
(2) \(64GB = 2^6 \times 2^{10} MB = 2^{16} MB\)。
數量：\(2^{16} \div 4 = 2^{16} \div 2^2 = 2^{14}\)，故 \(y=14\)。
6. 已知 \(m^2 = 5^n = 625\)，且 \(m, n\) 均為整數，則 \(m \times n =\) ________
解答 100 或 -100
解析：
\(5^n = 625 = 5^4 \Rightarrow n=4\)
\(m^2 = 625 \Rightarrow m = \pm 25\)
\(m \times n = 25 \times 4 = 100\) 或 \(-25 \times 4 = -100\)。
解析：
\(5^n = 625 = 5^4 \Rightarrow n=4\)
\(m^2 = 625 \Rightarrow m = \pm 25\)
\(m \times n = 25 \times 4 = 100\) 或 \(-25 \times 4 = -100\)。
7. 若 \(8^6 \times 25^8 = d \times 10^{16}\)，則 \(d =\) ________
解答 4
解析：
\(8^6 \times 25^8 = (2^3)^6 \times (5^2)^8 = 2^{18} \times 5^{16}\)
\(= 2^2 \times (2^{16} \times 5^{16}) = 4 \times 10^{16}\)
故 \(d=4\)。
解析：
\(8^6 \times 25^8 = (2^3)^6 \times (5^2)^8 = 2^{18} \times 5^{16}\)
\(= 2^2 \times (2^{16} \times 5^{16}) = 4 \times 10^{16}\)
故 \(d=4\)。
三、計算題 (共 20 分)
1. 已知下面 (1)、(2) 兩個算式的計算結果相等，但其中一個算式有部分被塗汙了，則被塗汙的數為何？ (6分)
(1) \((-1)^{11} \div (-1)^5\)
(2) \((-\frac{3}{4})^7 \times (\quad)^7\)
(1) \((-1)^{11} \div (-1)^5\)
(2) \((-\frac{3}{4})^7 \times (\quad)^7\)
解答 \(-\frac{4}{3}\) (或 \(-1\frac{1}{3}\))
解析：
1. 算式(1)結果：\((-1) \div (-1) = 1\)。
2. 設塗汙處為 \(x\)，則 \((-\frac{3}{4}x)^7 = 1\)。
3. 因奇數次方為1，底數必為 1。
4. \(-\frac{3}{4}x = 1 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}\)。
解析：
1. 算式(1)結果：\((-1) \div (-1) = 1\)。
2. 設塗汙處為 \(x\)，則 \((-\frac{3}{4}x)^7 = 1\)。
3. 因奇數次方為1，底數必為 1。
4. \(-\frac{3}{4}x = 1 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}\)。
2. 比較下列各數的大小。(每小題 4 分)
(1) \(x=9^{20}, y=27^{11}, z=81^9\)
(2) \(a=3^{55}, b=4^{44}, c=5^{33}\)
(1) \(x=9^{20}, y=27^{11}, z=81^9\)
(2) \(a=3^{55}, b=4^{44}, c=5^{33}\)
解答 (1) \(x > z > y\) (2) \(b > a > c\)
解析：
(1) 換底數為 3：
\(x = 3^{40}\)，\(y = 3^{33}\)，\(z = 3^{36}\)。
故 \(x > z > y\)。
(2) 換相同指數 11：
\(a = (3^5)^{11} = 243^{11}\)
\(b = (4^4)^{11} = 256^{11}\)
\(c = (5^3)^{11} = 125^{11}\)
底數 \(256 > 243 > 125\)，故 \(b > a > c\)。
解析：
(1) 換底數為 3：
\(x = 3^{40}\)，\(y = 3^{33}\)，\(z = 3^{36}\)。
故 \(x > z > y\)。
(2) 換相同指數 11：
\(a = (3^5)^{11} = 243^{11}\)
\(b = (4^4)^{11} = 256^{11}\)
\(c = (5^3)^{11} = 125^{11}\)
底數 \(256 > 243 > 125\)，故 \(b > a > c\)。
3. 小華記錄某種細菌分裂，5月1日有5個，之後每天數量是前一天的2倍。則5月12日的個數是5月7日的幾倍？ (6分)
解答 32 倍
解析：
第 \(n\) 天數量為 \(5 \times 2^{n-1}\)。
5月7日 (第7天)：\(5 \times 2^6\)。
5月12日 (第12天)：\(5 \times 2^{11}\)。
倍數：\(\frac{5 \times 2^{11}}{5 \times 2^6} = 2^{11-6} = 2^5 = 32\)。
解析：
第 \(n\) 天數量為 \(5 \times 2^{n-1}\)。
5月7日 (第7天)：\(5 \times 2^6\)。
5月12日 (第12天)：\(5 \times 2^{11}\)。
倍數：\(\frac{5 \times 2^{11}}{5 \times 2^6} = 2^{11-6} = 2^5 = 32\)。